Les puissances

Les puissances

Les puissances

I – Puissance d’un nombre réel :

1/ Définition :

a un nombre réel et n un entier naturel non nul.
a^n = a \times a \times a \times a \times ... \times a
n fois
a^n \;se\; lit \;:\; "a\; puissance\; n" \;ou\; "a\; exposant \;n".
a c’est la base, n c’est l’exposant
a^0 = 1
a^1 = a

Remarques et cas particuliers :

→ a^n \;se\; lit \;:\; "a\; puissance\; n" \;ou\; "a\; exposant \;n".
→ a^0 = 1 (a ≠ 0) et a^1 = a
→ 0^n = 0 (avec n≠ 0) et 1^n = 1
→ (-1)^n = \left\{\begin{array}{l}\;\;\;1\; si\; n\; pair \\-1\; si\; n\; impair \end{array}\right.

Exemples :

  • 2005^0 = 1
  • 2007^1 = 2007
  • 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81
  • \sqrt2^3 = \sqrt2 \times \sqrt2 \times \sqrt2 =2\sqrt2
  • 0^{2025} = 0
  • (-7)^3 = (-7) \times (-7) \times (-7) = -343
  • (-\sqrt2)^4 = (-\sqrt2) \times (-\sqrt2) \times (-\sqrt2) \times (-\sqrt2) = 4

2/ Le signe d’une puissance :

a- Propriété :

Le signe de la puissance a^n  \left\{\begin{array}{l}\;\;\;si\; a > 0 \; alors \; a^n \; positif \\ \;\;\;si\; a < 0\;  \;  \left\{\begin{array}{l}\;\;\;si\; n \; pair \; alors \; a^n \; positif \\ \;\;\; si\; n \; impair\; alors \; a^n \; négatif \end{array}\right. \end{array}\right.

b- Exemples :

    • \sqrt7^3 > 0 car la base \sqrt7 positif.
    • (-\sqrt11)^{124} > 0 car l’exposant 124 positif
    • (-\frac{\sqrt3}{7})^{11} car la base -\frac{\sqrt3}{7} négatif et l’exposant 11 impaire.

c- Remarque importante :

a un nombre réel non nul, n entier naturel

∗ si n est paire alors : (-a)^n = a^n

∗ si n est impaire alors : (-a)^n = -a^n

d- Exercice d’application :

∗ (-4)^3

∗ -2^4

∗ -(\frac{-2}{3})^3

∗ (\frac{-4}{5})^2 + (\frac{-1}{2})^3

∗ -(-\sqrt5)^2

∗ (-\sqrt{\sqrt16})^2

3/ Puissance à exposant négatif :

a- Définition :

Soient a et b deux nombres réels non nuls et n un nombre entier naturel.
a^{-n} = (\frac{1}{a^n})     ;      (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n

b- Exemples :

∗ \sqrt2^{-1} = \frac{1}{\sqrt2^1} = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}

∗ (\frac{-3}{\sqrt5})^{-2} = (-\frac{\sqrt5}{3})^2 = (\frac{\sqrt5}{3})^2 = \frac{5}{9}

∗ (3+\sqrt2)^{-1} = \frac{1}{3 + \sqrt2} = \frac{3 - \sqrt2}{(3 + \sqrt2)(3 - \sqrt2)} = \frac{3 - \sqrt2}{3^2 - \sqrt2^2} = \frac{3 - \sqrt2}{9 - 2} = \frac{3 - \sqrt2}{7}

II – Les opérations sur les puissances :

1/ Activité :

  1. Ecrire les nombres suivants sous forme d’une puissance du nombre 2

A = 2^5 \times 2^3   ;  B = 16^5   ;  C = 8^3 \times 4^{32}

2. Ecrire le nombre suivant sous forme 2^n \times 3^p avec n, p deux nombres entiers relatifs D = \frac{8^2 \times 9^3}{3^5 \times 2^4}

Solution :

  1. A = 2^5 \times 2^3 = 2^{5 + 3} = 2^8
    B = 16^5 = (2^4)^5 = 2^{4 \times 5} = 2^{20}
    C = 8^3 \times 4^{32} = (2^3)^3 \times (2^2)^{32} = 2^{3 \times 3} \times 2^{2 \times 32} = 2^9 \times 2^{64} = 2^{9 + 64} = 2^{73}
  2. D = \frac{8^2 \times 9^3}{3^5 \times 2^4} = \frac{(2^3)^2 \times (3^2)^3}{3^5 \times 2^4} = \frac{2^6 \times 3^6}{3^5 \times 2^4} = 2^{6-4} \times 3^{6-5} = 2^2 \times 3^1

2/ Activité :

a, b deux nombres réels non nul, n et m deux nombres entiers relatifs
a^n \times a^m = a^{n+m}
a^n \times b^n = (a \times b)^n
\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}
\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n
(a^n)^m = a^{n \times m}

Remarque :

→ Si on a même base, on garde la base.

→ Si on a même exposant, on garde l’exposant.

3/ Exemples :

a = \sqrt5^3 \times \sqrt5^{-7} = \sqrt5^{3+(-7)} = \sqrt5^{-4} = \frac{1}{\sqrt5^4} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \\ b = \sqrt2^3 \times \sqrt2^{-2} \times \sqrt2^{-2} = \sqrt2^{3-2-1} = \sqrt2^0 = 1 \\ c = \frac{5^8}{5^{11}} = 5^{8-11} = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \\
d = \frac{\sqrt7^3}{\sqrt7^{-2}} = \sqrt7^{3-(-2)} = \sqrt7^{3+2} = \sqrt7^5 = \sqrt7^4 \times \sqrt7 = (\sqrt7^2)^2 \times \sqrt7 = 49\sqrt7 \\ e = (\sqrt7^2)^{-3} = \sqrt7^{2 \times -3} = \sqrt7^{-6} = \frac{1}{\sqrt7^6} \\ f = (\sqrt{(\frac{3}{2})^4})^2 = (\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16} \\ g = \sqrt5^3 \times \sqrt7^3 = (\sqrt5 \times \sqrt7)^3 = \sqrt35^3 = \sqrt35^2 \times \sqrt35 = 35\sqrt35\\ h= 3^{-2} \times \sqrt3^{-2} \times \sqrt2^{-2} = (3 \times \sqrt3 \times \sqrt2)^{-2} = (3\sqrt6)^{-2} = \frac{1}{(3\sqrt6)^2} = \frac{1}{9 \times 6} = \frac{1}{54}\\ i = \frac{\sqrt45^3}{\sqrt5^3} = (\frac{\sqrt45}{\sqrt5})^3 = \sqrt{\frac{45}{5}}^3 = \sqrt9^3 = 3^3 = 27  \\ j= \frac{25^{-2}}{15^{-2}} = (\frac{25}{15})^{-2} = (\frac{5}{3})^{-2} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}\\

4/ Exercice d’application :

a et b deux nombres réels non nuls et a ≠ 3 \\

Simplifier ce qui suit :

A = \frac{a^2 \times (a^5)^3}{(a \times a^2)^4}\\ B = \frac{a^{-5} \times b^{-3} \times a^{-2}}{a^3 \times (b^{-2})^3}\\ C = [1 + (\frac{3 - a}{1 + a})^{-1}]^{-1}\\

III – L’écriture scientifique :

1/ Puissance de 10 :

a- Propriété:

n un entier naturel
10^n = 10000...00\\
10^{-n} = 0,00...001

b- Exemples:

∗ 10^4 = 10000\\
∗ 10^7 = 10000000\\
∗ 10^{-1} = 0,1\\
∗ 10^{-2} = 0,01\\
∗ 10^{-3} = 0,001\\
∗ 10^{-5} = 0,00001\\

2/ Ecriture scientifique :

a- Définition:

Soient a un nombre décimal et n un entier relatif
L’écriture x = a \times 10^n ou x = -a \times 10^n
s’appelle écriture scientifique de x avec 1 ≤ a < 10

b- Exemples:

a = 3452 = 3,452 \times 10^3\\
b = 0,00000234 = 2,34 \times 10^{-6}\\
C =678,25 \times 10^5 = 6,7825 \times 10^2 \times 10^5 : 6,7825 \times 10^{2+5} = 6,7825 \times 10^7\\
d = -0,000981 \times 10^{-9} = -9,81 \times 10^{-4-9} = -9,81 \times 10^{-13}\\
e = -24,5 \times 10^{-11} \times 1,2 \times 10^3 = -24,5 \times 1,2 \times 10^{-11} \times 10^3 = -29,4 \times 10^{-11+3} = -2,94 \times 10 \times^{-8} = = -2,94 \times 10^{-7}\\

c- Méthodes:

Pour trouver l’écriture scientifique d’un nombre réel on glisse la virgule jusqu’on trouve un nombre entre 1 et 10.

∗ Glissement à droite = exposant négatif

∗ Glissement à gauche = exposant positif