Les racines carrées

Les racines carrées

Les racines carrées

I – La racine carré d’un nombre réel positif :

1/ Définition :

Soit a un nombre réel positif ou nul (c’est à dire ≥ 0)
La racine carrée de a c’est le nombre réel positif dont le carré est égale à a noté \sqrt{a}

⇒ Résultat :

a un nombre réel positif

\sqrt{a^2} = a , \sqrt{a}^2 = a

⇒ Remarques importantes :

∗ \sqrt{a} n’a pas de sens que si a ≥ 0 c’est à dite la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

∗ La racine carrée d’un nombre n’est jamais égale à un nombre négatif.

∗ L’opposé de \sqrt{a} (avec a ≥ 0) -\sqrt{a}  (L’opposé de \sqrt{11} est -\sqrt{11})

∗ \sqrt{0} = 0 , \sqrt{1} = 1

2/ Exemples :

∗ \sqrt{0} = 0 car 0^2 = 0

∗ \sqrt{1} = 1 car 1^2 = 1

∗ \sqrt{3} = 3 car 3^2 = 9

∗ \sqrt{49} = 7 car 7^2 = 49

∗ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} car (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}

⇒ Apprendre par cœur : (carrés parfaits)

∗ \sqrt{0} = 0

∗ \sqrt{1} = 1

∗ \sqrt{4} = 2

∗ \sqrt{9} = 3

∗ \sqrt{16} = 4

∗ \sqrt{25} = 5

∗ \sqrt{36} = 6

∗ \sqrt{49} = 7

∗ \sqrt{64} = 8

∗ \sqrt{81} = 9

∗ \sqrt{100} = 10

∗ \sqrt{121} = 11

∗ \sqrt{144} = 12

∗ \sqrt{169} = 13

∗ \sqrt{196} = 14

∗ \sqrt{225} = 15

∗ \sqrt{256} = 16

∗ \sqrt{289} = 17

∗ \sqrt{324} = 18

∗ \sqrt{361} = 19

∗ \sqrt{400} = 20

⇒ Exercice d’application :

Calcul les racines carrées suivants :

\sqrt{144} ;  \sqrt{\frac{1}{9}} ;  \sqrt{\frac{16}{25}} ;  \frac{3}{\sqrt{81}} ;  \sqrt{\frac{0,36}{0,25}} ;  \frac{\sqrt{121}}{4}

3/ Le carré d’une racine carrée :

a- Propriété :

a un nombre réel.
∗ Si a > 0 : \sqrt{a^2} = \sqrt{a}^2 = a\\ ∗ Si a < 0 : \sqrt{a^2} = \sqrt{-a}^2 = -a

 

b- Exemples :

∗ \sqrt{(\frac{3}{2})^2} = \frac{3}{2}

∗ \sqrt{\frac{11}{5}}^2 = \frac{11}{5}

∗ \sqrt{{\sqrt9}}^2 = \sqrt{9} = 3

∗ \sqrt{(-3)^2} = 3

∗ \sqrt{(\frac{-6}{7})^2} = \frac{6}{7}

c- Exercice d'application :

Simplifier ce qui suit :

∗ \sqrt{\sqrt{16}}

∗ \sqrt{\frac{\sqrt2}{7}}^2

∗ \sqrt{7 + \sqrt{2}^2}

∗ \sqrt{(7 + \sqrt2)^2}

∗ \sqrt{\sqrt{5}^2}^2

∗ \sqrt{(-7 - \sqrt5)^2}

II - Résolution de l'équation x^2 = a :

1/ Si a > 0 :

L'équation x^2 = a est respectivement équivalente à
x^2 - a = 0\\x^2 - \sqrt{a}^2 = 0\\(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0\\
x - \sqrt{a} = 0 ou x + \sqrt{a} = 0\\

x = \sqrt{a} ou x = -\sqrt{a}\\

Cette équation admet deux solutions \sqrt{a} et -\sqrt{a}

2/ Si a = 0 :

L'équation x^2 = a est respectivement équivalente à
x^2 = 0\\x = 0\\

3/ Si a < 0 :

L'équation x^2 = a n'admet pas de solution.

∗ Règle :

Solution de l'équation x^2 = a Si x^2 = a L'équation admet unique solution 0
Si x^2 > a L'équation admet deux solutions \sqrt{a} et -\sqrt{a}
Si x^2 < a L'équation n'admet pas de solution

4/ Exercices d'application :

Résoudre les équations suivantes :

∗ 2x^2 = 6

∗ 3x^2 + 15 = 3

∗ -13 + x^2 = -4

∗ 2(x^2 - 1) = -2

III - Les opérations sur les racines carrées :

1/ Racine carrée et produit :

A- Propriété 1 :

Soitent a et b deux nombres réels positifs
\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

∗ Exemples :

∗ \sqrt2 \times \sqrt6 = \sqrt{2 \times 6} = \sqrt12\\

∗ \sqrt3 \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6\\

∗ \sqrt2 \times \sqrt5 \times -\sqrt{10} = -\sqrt{2 \times 5 \times 10} = -\sqrt{100} = -10\\

∗ \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt5 = 5\sqrt5\\

B- Propriété 2 : Extraire un carré parfait

Soitent a et b deux nombres réels positifs
\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}

∗ Exemples :

∗ \sqrt{3^2 \times 7} = 3\sqrt7\\

∗ \sqrt{25 \times 7} = \sqrt{5^2 \times 7} = 5\sqrt7\\

∗ \sqrt{49 \times 5} = \sqrt{7^2 \times 5} = 7\sqrt5\\

∗ \sqrt8 = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{2^2 \times 2} = 2\sqrt2\\

∗ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 5} = 3\sqrt5\\

∗ \sqrt{2^2 \times 5^2 \times 3} = 2 \times 5\sqrt3 = 10\sqrt3\\

∗ \sqrt{3^2 \times 5} \times \sqrt{2^2 \times 3} = 3\sqrt7 \times 2\sqrt3 = 3 \times 2\sqrt{7 \times 3} = 6\sqrt{21}\\

∗ \sqrt{5^3} = \sqrt{5^2 \times 5} = 5\sqrt5\\

∗ Techniques et astuces :

i) Décomposition :

Simplifions \sqrt{180} , pour cela on décompose 180 :

180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1  

Donc 180 = 2^2 \times 3^2 \times5\\

Donc \sqrt{180} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times5} = 2 \times 3\sqrt5 = 6\sqrt5

ii) Racines carrées et puissances :

∗ A= \sqrt{5^6} = \sqrt{(5^3)^2} = 5^3 = 125\\

∗ B= \sqrt{7^5} = \sqrt{(7^4) \times 7} = \sqrt{(7^2)^2 \times 7} = 7^2\sqrt7 = 49\sqrt7\\

C- Exercice d'application :

Simplifier et calculer :

∗ a = \sqrt{\sqrt{3^4} \times 5^2 \times 2^7}\\

∗ b = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 6^2}\\

∗ c = (3\sqrt2 + \sqrt5)(3\sqrt2 - \sqrt5)\\

∗ d = \sqrt{25} + \sqrt{81} - 2\sqrt9\\

∗ e = \sqrt{96} + 2\sqrt{24} - 3\sqrt{54}\\

2/ Racine carrée et division :

A- Propriété 1 :

Soitent a et b deux nombres réels positifs et b ≠ 0
\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

∗ Exemples :

∗ \frac{\sqrt8}{\sqrt2} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt4 = 2\\

∗ \frac{\sqrt12}{\sqrt3} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt4 = 2\\

∗ \sqrt{\frac{3}{25}} = \frac{\sqrt3}{\sqrt25} = \frac{\sqrt3}{5}\\

∗ \frac{-\sqrt60}{\sqrt5} = -\sqrt{\frac{60}{5}} = -\sqrt{12} = -\sqrt{2^2 \times 3} = -2\sqrt3\\

B- Propriété 2 :

Soitent a et b deux nombres réels positifs et b ≠ 0
\sqrt{\frac{1}{b}} = \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{b} ; \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}

∗ Exemples :

∗ \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}\\

∗ \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt7}{7}\\

∗ \frac{2}{\sqrt5} = \frac{2\sqrt5}{5}\\

∗ \frac{3}{\sqrt6} = \frac{3\sqrt6}{6} = \frac{\sqrt6}{2}\\

∗ \sqrt{\frac{7}{5}} = \frac{\sqrt7}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt7 \times \sqrt5}{5} = \frac{\sqrt35}{5}\\

3/ Suppression de la racine du dénominateur (Rendre le dénominateur rationnel) :

A- Cas 1 : Dénominateur ne contenant pas + ou - :

∗ \frac{2}{\sqrt5} = \frac{2\sqrt5}{5}\\

∗ \frac{\sqrt3}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt3 \times \sqrt2}{5 \times 2} = \frac{\sqrt6}{10}\\

∗ \frac{2 + \sqrt7}{3\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}(2 + \sqrt7)}{3 \times 11} = \frac{2\sqrt{11} + \sqrt{77}}{33}\\

B- Cas 1 : Dénominateur contenant + ou - :

Définition : Le conjugué
a et b deux nombres réels positifs strictement.
Le conjugué de \sqrt{a} + \sqrt{b} est \sqrt{a} - \sqrt{b}
Le conjugué de \sqrt{a} - \sqrt{b} est \sqrt{a} + \sqrt{b}
Ou on dit que \sqrt{a} - \sqrt{b} et \sqrt{a} + \sqrt{b} sont des conjugué entre eux.
et (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{a}^2 - \sqrt{b}^2 = a - b

∗ Exemples :

∗ \frac{3}{\sqrt2 + \sqrt5} = \frac{3 \times (\sqrt2 - \sqrt5)}{(\sqrt2 + \sqrt5)(\sqrt2 - \sqrt5)} = \frac{3(\sqrt2 - \sqrt5)}{\sqrt{2}^2 - \sqrt{5}^2} = \frac{3(\sqrt2 - \sqrt5)}{2 - 5} = \frac{3(\sqrt2 - \sqrt5)}{-3} = -(\sqrt2 - \sqrt5) = \sqrt5 - \sqrt2\\

∗ \frac{\sqrt3}{4 - \sqrt6} = \frac{\sqrt3 (4 + \sqrt6)}{(4 - \sqrt6)(4 + \sqrt6)} = \frac{4\sqrt3 + \sqrt{18}}{4^2 - \sqrt{6}^2} = \frac{4\sqrt3 + \sqrt{3^2 \times 2 }}{16 - 6} = \frac{4\sqrt3 + 3\sqrt2}{10}\\