Calcul numérique : développement et factorisation

Développement et factorisation

Développement et factorisation

I – Rappel vocabulaire :

1/ Expression algébrique :

On appelle expression algébrique toute expression contenant à la fois des chiffres et des lettres.

Exemples :

A=2x^4 + \frac{2}{3}x^2 - \sqrt3 x +1 \\ B=(2x^2 + 3)(-4x-1)

2/ Expression numérique :

On appelle expression numérique toute expression ne contenant que des chiffres.

Exemples :

C = 2\sqrt7 + \frac{1}{2} - 11,5 + 17  \\ D=(2\sqrt3 - \frac{11}{3})(11 - \frac{\sqrt5}{2\sqrt7} +1) \\

3/ Somme algébrique :

On appelle somme algébrique, toute expression algébrique ne contenant aucun parenthèse et écrite sous la forme d’une suite d’addition et de soustractions de nombres.

Exemples :

E = 3x^2 + x\sqrt3 -11\\ F= \sqrt3 x^5 - 4x^3 + 2x^2 - \frac{1}{2}x + \sqrt7 \\

4/ Réduire (simplifier) une expression algébrique :

Réduire une expression algébrique, c’est la simplifier en regroupant les termes qui se ressemblent du plus petit au plus grand exposant.

Exemples :

G = 3x^2 - 2x + 4 -5x^2 + 1 + 7x + x^3\\ \;\;\;\;= x^3 + 3x^2 - 5x^2 - 2x + 7x + 4 + 1\\ \;\;\;\;= x^3 - 3x^2 + 5x + 5\\ H = 3x - 2x^3 + 2x + x^3 - 11 - 5x + 7\\ \;\;\;\;= -2x^3 + x^3 + 3x + 2x - 5x - 11 + 7\\ \;\;\;\;= -x^3 - 4\\

II – Développement et factorisation :

1/ Activité :

ABCD et AEFD deux rectangles tel que : AB = k , AE = a , BE = b 1)Calculer l’air de chacun des rectangles ABCD et AEFD et EBCF. 2)Déduire que : k \times (a+b) = k \times a + k \times b

Solution :

1) L’air du rectangle AEFD est : S_1 = AE \times AD = k \times a L’air du rectangle EBCF est : S_2 = EF \times EB = k \times b L’air du rectangle ABCD est : S = AD \times AB = k \times (a+b) 2) L’air du rectangle ABCD est la somme des airs des rectangles AEFD et EBCF donc : S = S_1 + S_2 Alors : k \times (a+b) = k \times a + k \times b

2/ Développement :

a- Définition :

Le développement est l’écriture d’un produit sous forme d’une somme ou différence.

b- Règle 1 :

k, a et b des nombres réels. k \times (a+b) = k \times a + k \times b k \times (a-b) = k \times a - k \times b

Exemples :

A = 2x(x + 4)\\ \;\;\;\;= 2x \times x + 2x \times 4 \\ \;\;\;\;= 2x^2 + 8x\\ B = (-3x - 5) \times (-4x)\\ \;\;\;\;= -3x \times (-4x) - 5x \times (-4x) \\ \;\;\;\;= 12x^2 + 20x\\ C = 3x(2x^2 - x + 2) -5(3x^2 + 4x - 5)\\ \;\;\;\;= 6x^3 - 3x^2 + 6x - 15x^2 - 20x + 25 \\ \;\;\;\;= 6x^3 - 3x^2 - 15x^2 + 6x - 20x + 25\\ \;\;\;\;= 6x^3 - 18x^2 - 14x + 25\\

b- Règle 2 :

a, b, c et d des nombres réels. (a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ac + ad + bc + bd\\

Exemples :

A = (3\sqrt2 - 1)(2 + \sqrt2)\\ \;\;\;\;= 3\sqrt2 \times 2 + 3\sqrt2 \times \sqrt2 - 1 \times 2 - 1 \times \sqrt2 \\ \;\;\;\;= 6\sqrt2 + 3 \times 1 - 2 - \sqrt2 \\ \;\;\;\;= 6\sqrt2 - \sqrt2 +6 - 2\\ \;\;\;\;= 5\sqrt2 + 4\\

B = (2 - x)(3x + 1)\\ \;\;\;\;= 2 \times 3x + 2 \times 1 - x \times 3x - x \times 1 \\ \;\;\;\;= 6x + 2 - 3x^2 - x \\ \;\;\;\;= -3x^2 + 6x - x + 2\\ \;\;\;\;= -3x^2 + 5x + 2\\ C = 3x(2x + 1) + (3x - 2)(x+7)\\ \;\;\;\;= 6x^2 + 3x + 3x^2 + 21x - 2x - 14 \\ \;\;\;\;= 6x^2 + 3x^2 + 3x + 21x - 2x - 14 \\ \;\;\;\;= 9x^2 + 22x - 14\\

3/ Factorisation :

a- Définition :

La factorisation est l’écriture d’une somme ou différence sous forme d’un produit.

b- Règle :

k, a et b des nombres réels. k \times a + k \times b = k \times (a + b) k \times a - k \times b = k \times (a - b)

b- Remarque importante :

Pour factoriser une expression algébrique,  on cherche un facteur commun, après on simplifie l’intérieur des parentheses.

Exemples :

→ Cas 1 : Facteur commun sans parenthèses : A = 2\sqrt3 x - \sqrt6 x^2\\ \;\;\;\;= 2\sqrt3 x - \sqrt2 \times \sqrt3 x^2 \\ \;\;\;\;= \sqrt3 x (2- \sqrt2 x) \\ B = 3x^2 - 9x\\ \;\;\;\;= 3x \times x - 3x \times x \\ \;\;\;\;= 3x(x - 3) \\ → Cas 2 : Facteur commun avec parenthèses : C = (2x + 1)(5 - x) - (2x + 1)(7x + 3)\\ \;\;\;\;= (2x + 1) [(5 - x) - (7x + 3)] \\ \;\;\;\;= (2x + 1) (5 - x - 7x - 3) \\ \;\;\;\;= (2x + 1)(2 - 8x) \\ D = (x + 3)^2 + 2x(x + 3) - (x + 3)\\ \;\;\;\;= (x + 3)(x + 3) + 2x(x + 3) - (x + 3) \times 1 \\ \;\;\;\;= (x + 3)(x + 3 + 2x - 1) \\ \;\;\;\;= (x + 3)(3x + 2) \\

→ Cas 3 : Factorisation double :

E = 7(x - 1) + 2x^2 - 2x\\ \;\;\;\;= 7(x - 1) + 2x(x - 1) \\ \;\;\;\;= (x - 1)(7 + 2x) \\

F = -4x^2 + 2x + (-2x^3 + x^2)\\ \;\;\;\;= 2x(-2x + 1) + x^2(-2x + 1) \\ \;\;\;\;= (1 - 2x)(2x + x^2) \\

III – Identités remarquables :

1/ Propriétés :

a et b deux nombres réels. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a - b)(a + b)  = a^2 - b^2

2/ Exemples :

→ Identités remarquables et développement : A = (x + 1)^2\\ \;\;\;\;= (x^2 + 2 \times x \times 1 + 1^2 \\ \;\;\;\;= x^2 + 2 \times x + 1\\ B = (2x + 3)^2\\ \;\;\;\;= (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2  \\ \;\;\;\;= 4x^2 + 12x + 9\\

C = (x - 5)^2\\ \;\;\;\;= (x)^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2  \\ \;\;\;\;= x^2 - 10x + 25\\ D = (5 - 7x)^2\\ \;\;\;\;= (5)^2 - 2 \times 5 \times 7x + (7x)^2  \\ \;\;\;\;= 25 - 70x + 49x^2\\
E = (2x - \sqrt5)(2x + \sqrt5) \\ \;\;\;\;= 2x^2 -\sqrt2^2  \\ \;\;\;\;= 4x^2 - 5\\
F = (2 \sqrt7 x - 3\sqrt5)(2\sqrt7 x + 3\sqrt5) \\ \;\;\;\;= (2\sqrt7 x)^2 - (3\sqrt5)^2 \\ \;\;\;\;= 28x^2 - 45\\ → Identités remarquables et factorisation :
A = x^2 + 6x + 9\\ \;\;\;\;= x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 \\ \;\;\;\;= (x + 3)^2\\ B = 25x^2 + 30x + 9\\ \;\;\;\;= (5x)^2 + 2 \times 5x \times 3 + 3^2 \\ \;\;\;\;= (5x + 3)^2\\ C = x^2 - 4x - 4\\ \;\;\;\;= x^2 - 2 \times x \times 2 + 2^2 \\ \;\;\;\;= (x - 2)^2\\ D = 49x^2 - 56x + 16\\ \;\;\;\;= (7x)^2 - 2 \times 7x \times 4 + 2^2 \\ \;\;\;\;= (7x - 4)^2\\ E = 16x^2 - \frac{1}{4}\\ \;\;\;\;= (4x)^2 - (\frac{1}{2})^2 \\ \;\;\;\;= (4x - \frac{1}{2})(4x + \frac{1}{2})\\ F = 144x^2 - 49\\ \;\;\;\;= (12x)^2 - 7^2 \\ \;\;\;\;= (12x - 7)(12x + 7)\\ → Identités remarquables et double factorisation : A = 4x^2 + 4x + 1 - (10x + 5) \\ \;\;\;\;= (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 - 5(2x + 1)\\ \;\;\;\;= (2x + 1)^2 - 5(2x + 1)\\ \;\;\;\;= (2x + 1)(2x + 1 - 5)\\ \;\;\;\;= (2x + 1)(2x - 4)\\ B = \frac{1}{2}(-x^2 - x)(2x - 8) + x^2 - 8x + 16 \\ \;\;\;\;= \frac{1}{2} \times 2(-x^2 - x)(x - 4) + x^2 - 2 \times x \times 4 + 4^2 \\ \;\;\;\;= (-x^2 - x)(x - 4) + (x - 4)^2\\ \;\;\;\;= (x - 4)(-x^2 - x + x - 4)\\ \;\;\;\;= (x - 4)(-x^2 - 4))\\ \;\;\;\;= -(x - 4)(x^2 + 4))\\

3/ Exercice d’application :

1-Développer et simplifier : A = (2x + 1)^2 - (3x + 5)(3x - 5) \\ B = (7 - 2x)^2 + 4x(1-x) \\ 2-Factoriser ce qui suit : C = 25x^2 - 4 + (5x - 2)(5x + 7) \\ D = 9x^2 - 6x + 1 + 5x(3x - 1) \\