Correction Examen Régional 3APIC Mathématiques 2024 Casablanca Settat

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La correction

Exercice 1

$3x + 2 = x - 1\\$
$3x - x = -1 - 2 \\$
$2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\\$
Donc $-\frac{3}{2}$ est solution de l’équation.
$4x + 2 \leq 7x - 1\\$
$4x - 7x \leq -1 - 2 \\$
$-3x \leq -3 \Rightarrow x \geq 1 \\$
Tous les nombres supérieurs ou égaux à 1 sont solutions de l’inéquation.
a) On a : $(2x - 1)(x + 1) = 2x^2 + 2x - x - 1 = 2x^2 + x - 1\\$
Donc $2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)\\$
b) On a : $2x^2 + x = 1 \Rightarrow 2x^2 + x - 1 = 0 \quad \text{(1)}\\$
Or d’après la question précédente, on a :
$2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)\\$
donc (1) équivaut à :
$2x^2 + x = 1 \Rightarrow (2x - 1)(x + 1) = 0 \\$
Donc on a :
$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \\$
ou
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \\$
$2x^2 + x = 1$ a pour solutions $\boxed{x = \frac{1}{2}}$ et $\boxed{x = -1}\\$

Exercice 2

$\left\{\begin{array}{l}\;\;\;3x + 2y = 14 \\ \;\;\; x + 4y = 17 \end{array}\right.\\$
par substitution :
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\;\;\;3x + 2y = 14 \\ \;\;\; x = 17 - 4y \end{array}\right.\\$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\;\;\;3(17-4y) + 2y = 14 \\ \;\;\; x = 17 - 4y \end{array}\right.\\$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\;\;\;51 - 12y + 2y = 14 \\ \;\;\; x = 17 - 4y \end{array}\right.\\$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\;\;\;-12y + 2y = 14 - 51 \\ \;\;\; x = 17 - 4y \end{array}\right.\\$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\;\;\;-10y = -37 \\ \;\;\; x = 17 - 4y \end{array}\right.\\$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\;\;\;y = \dfrac{37}{10} \\ \;\;\; x = 17 - 4 \times \dfrac{37}{10} \end{array}\right.\\$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\;\;\;y = \dfrac{37}{10} \\ \;\;\; x = \dfrac{11}{5} \end{array}\right.\\$
Le couple $(\dfrac{11}{5};\dfrac{37}{10})$ est solution du système.
Choix des inconnues :
Soit $x$ le prix d’un morceau de pain et $y$ le prix d’un morceau de gâteau.
Mise en système :
Hamid achète 3 morceaux de pain et 2 morceaux de gâteau, donc :
$3x + 2y = 14\\$
Amina achète 2 morceaux de pain et 8 morceaux de gâteau pour 34 dhs, donc :
$2x + 8y = 34\\$
Soit : $\left\{\begin{array}{l}\;\;\;3x + 2y = 14 \\ \;\;\; 2x + 8y = 34 \end{array}\right.\\$
Résolution :
$\left\{\begin{array}{l}\;\;\;3x + 2y = 14 \\ \;\;\; 2x + 8y = 34 \end{array}\right.\\$
En divisant la deuxième équation par 2, on a :
$\left\{\begin{array}{l}\;\;\;3x + 2y = 14 \\ \;\;\; x + 4y = 17 \end{array}\right.\\$
D’après la question précédente, le couple $(\dfrac{11}{5};\dfrac{37}{10})$ est solution du système.
Ou le couple $\boxed{(2{,}2 \ ; \ 3{,}7)}$ est solution du système.
Conclusion :
– Le prix d’un morceau de pain est 2,2 dhs.
– Le prix d’un morceau de chocolat est 3,7 dhs.

Exercice 3

a)
b) Graphiquement l’image de $1$ est $2$ .
c) Le nombre qui a pour image $-2$ par la fonction $g$ est $-1$
g) $g$ est une fonction linéaire donc : $g(x) = ax\\$
Or $a = \dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{g(2)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\\$
Donc $g(x) = 2x\\$
$f$ est une fonction affine : $f(x) = -2x + 4\\$
a) L’image de 3 : $f(3) = -2 \times 3 + 4 = -6 + 4 = -2\\$
Donc l’image de 3 par $f$ est -2
b) On doit résoudre $f(x) = -2 \Leftrightarrow -2x + 4 = -2 \Leftrightarrow -2x = -2 -4 \Leftrightarrow -2x = -6 \Leftrightarrow x= \dfrac{-6}{-2} \Leftrightarrow \boxed{x = 3}$
c) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & 3 & 3 & 0 & 2 \\\hline f(x) & -2 & -2 & 4 & 0 \\\hline\end{array}\\$

Exercice 4

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Valeur} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Effectif} & 5 & 1 & 3 & 2 & 8 & 6 \\ \hline \text{ECC} & 5 & 6 & 9 & 11 & 19 & 25 \\ \hline \end{array}\\$

On a : $5 + 1 + 3 + 2 + 8 + 6 = 25\\$
Donc le nombre de joueurs de cette équipe est $\fbox{25}\\$
Le plus grand effectif est $8$ associé à la valeur $4$ donc le mode de cette série statistique est $\fbox{4}.\\$
Soit $m$ la moyenne :
$m = \dfrac{0 \times 5 + 1 \times 1 + 2 \times 3 + 3 \times 2 + 8 \times 4 + 5 \times 6}{25} = \boxed{3}\\$
La moyenne arithmétique de cette série est $\fbox{3}.$

Exercice 5

Image de $B$ par la translation $t$ donc $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC}$ (1)
Image de $C$ par la translation $t$ donc $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB}$ (2)
De (1) et (2), on a $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CF}$ donc $BCFE$ est un parallélogramme par conséquent $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BC}$
Donc l’image de $E$ par la translation qui transforme $B$ en $C$ est le point $\fbox{F}$ .

Exercice 6

A(1;6), B(-3;-2), C(5;-2), K(1;1), \quad \mathcal{D}: y = -2x + 8

On a $\mathcal{D}: y = -2x + 8\\$
$-2x_A + 8 = -2 \times 1 + 8 = -2 + 8 = 6 \Rightarrow$ donc $y_A = 6 \Rightarrow$ donc $A \in \mathcal{D}\\$
$-2x_C + 8 = -2 \times 5 + 8 = -10 + 8 = -2 \Rightarrow$ donc $y_C = -2 \Rightarrow$ donc $C \in \mathcal{D}\\$
Conclusion: les points $A$ et $C$ appartiennent à la droite $\mathcal{D}$ , donc la droite $\mathcal{D}$ est seulement la droite $(AC)$
3.
4. $(AB): y = mx + p$ est l’équation réduite de la droite $(AB)\\$
Calcul de m :
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-2 - 6}{-3 - 1} = \dfrac{-8}{-4} = 2\\$
Donc $(AB): y = 2x + p\\$
Calcul de p :
$A \in (AB) \Rightarrow y_A = 2x_A + p \Rightarrow 6 = 2 \times 1 + p \Rightarrow 6 = 2 + p \Rightarrow p = 4\\$
Conclusion $(AB): y = 2x + 4\\$
5. $KA = \sqrt{(x_A - x_K)^2 + (y_A - y_K)^2} = \sqrt{(1 - 1)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5\\$
Donc $KA = 5\\$
6. $E$ est milieu de $[AC]$ soit $E(x_E; y_E)$ donc :
$x_E = \dfrac{x_A + x_C}{2} \quad \text{et} \quad y_E = \dfrac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow x_E = \dfrac{1+5}{2}, \quad y_E = \dfrac{6-2}{2}\\$
$\Rightarrow x_E = 3, \quad y_E = 2 \Rightarrow E(3;2)\\$
7. $(\Delta): y = mx + p \quad (\Delta) \perp (d) \Leftrightarrow m_{\Delta} \times m_D = -1 \\$
$m_{\Delta} = \dfrac{-1}{-2} \Rightarrow m_{\Delta} = \dfrac{1}{2}\\$
Donc : $(\Delta): y = \dfrac{1}{2}x + p\\$
– Calcul de $p$
On sait $A \in (\Delta)$ donc $y_A = \dfrac{1}{2}x_A + p \Rightarrow 6 = \dfrac{1}{2} \times 1 + p \Rightarrow p = 6 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{11}{2}\\$
– Conclusion
$\boxed{(\Delta): y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{11}{2}}\\$

Exercice 7

$V_1$ volume de la pyramide $SABC$ donc :
$V_1 = \dfrac{A_{ABC} \times SA}{3} = \dfrac{\dfrac{AB \times AC}{2} \times SA}{3} = \dfrac{\dfrac{4 \times 6}{2} \times 16}{3} = \dfrac{22 \times 16}{3} = 64 \Rightarrow \boxed{V_1 = 64 \text{ cm}^3}\\$
On sait que l’aire $EFG = 3 \text{ cm}^2$ et l’aire $ABC = \dfrac{4 \times 6}{2} = 12 \text{ cm}^2\\$
Donc le coefficient de réduction $k$ est défini par :
$\dfrac{A_{EFG}}{A_{ABC}} = k^2 \Rightarrow k^2 = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \boxed{k = \dfrac{1}{2}}\\$
Calcul de $V_2\\$
$V_2 = V_1 \times k^3 = 64 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \boxed{8 \text{ cm}^3}\\$
Le volume $V_2$ de la pyramide $SEFG$ est $\textbf{8 cm}^3\\$

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