Ordre et Opérations

I – Comparaison de deux nombres réels :

1/ Activité 1 :

Comparer a et b dans chacun des cas suivants :

1. a = \frac{12}{7} et b = \frac{15}{7}
2. a = \frac{5}{4} et b = \frac{11}{8}
3. a = \frac{15}{14} et b = \frac{-12}{7}
4. a = \frac{6}{5} et b = \frac{6}{11}

Réponse :

1. On a 15 > 12 Donc \frac{15}{7} > \frac{12}{7}
2. On a \frac{-12}{7} < 0 et \frac{15}{14} > 0 Donc \frac{-12}{7} < \frac{15}{14}
3. On a a = \frac{5}{4} = \frac{10}{8} et 10 < 11 Donc \frac{10}{8} < \frac{11}{8} Alors \frac{5}{4} < \frac{11}{8}
4. On a 5 < 11 Donc \frac{6}{5} > \frac{6}{11}

2/ Règle 1 :

3/ Exemples :

1. Comparons les nombres a = \frac{4}{35} et b = \frac{2}{15}⇒ On a a - b = \frac{4}{35} - \frac{2}{15} = \frac{12 - 14}{105} = \frac{-2}{105} \\

On a \frac{-2}{105} < 0

Donc a - b < 0 Alors a < b

2. Comparons les nombres 2\sqrt3 - 4 et \sqrt3 - 5

⇒ On a : (2\sqrt3 - 4) - (\sqrt3 - 5) = 2\sqrt3 - 4 - \sqrt3 + 5 = \sqrt3 +1

Or \sqrt3 +1 > 0 Donc (2\sqrt3 -4) - (\sqrt3 - 5) > 0 Alors 2\sqrt3 -4 > \sqrt3 - 5

3. Comparons x et y tel que x = y - 3

On a x - y = (y - 3) - y = y - 3 - y = -3 < 0

Donc x - y < 0 Alors x < y

3/ Exercice d’application :

Comparer les deux nombres dans chacun des cas :

1. \frac{12}{7} et \frac{15}{14}
2. 7 + \sqrt2 et -3\sqrt2 - 1
3. \sqrt3 - 1 et 5\sqrt3 + 4

II – Ordre et opérations :

1/ Ordre et addition :

a- Propriété 1 :

∗  Exemples :

a et b deux nombres réels tel que a + 4 ≤ b

Montrons que a + 1 ≤ b - 3

On a a + 4 ≤ b Donc a + 4 - 3 ≤ b - 3

Alors : a + 1 ≤ b - 3

b- Propriété 2 :

∗  Exemples :

a, b deux nombres réels tel que a + 3 ≤ 3 et b + 4 ≤ \sqrt2

Montrons que a + b + 7 ≤ \sqrt2 + 3

⇒ On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\;a + 3 ≤ 3 \\ \;\;\; b + 4 ≤ \sqrt2 \end{array}\right. Donc a + 3 + b + 4 ≤ 3 + \sqrt2\\

Alors : a + b + 7 ≤ 3 + \sqrt2\\

2/ Ordre et multiplication :

a- Activité 2 :

Solution :

1. On a ac - bc = c(a-b)

Or a ≤ b Donc a - b ≤ 0 et c > 0

Donc c(a-b) ≤ 0

C’est à dire ac - bc ≤ 0

Alors ac ≤ bc

2. On a ac - bc = c(a-b)

On a a - b ≤ 0 et c ≤ 0

Donc c(a-b) ≥ 0

Donc ac - bc ≥ 0

Alors Donc ac ≥ bc

b- Propriété 3 :

∗  Remarque :

⇒ Si a ≤ b alors -a ≥ -b c’est à dire l’opposé change l’ordre.

∗  Exemple :

a et b deux nombres réels tel que

a ≥ \frac{4}{3} et b ≥ \sqrt3

Déduisons un ordre de 3a et -2b

⇒ On a a ≥ \frac{4}{3} donc 3 \times a ≥ 3 \times \frac{4}{3} donc 3a ≥ 4

On a : b ≥ \sqrt3 donc -2 \times b ≥ -2\sqrt3

b- Propriété 4 :

∗  Exemple :

x et y deux nombres réels positifs tel que

x < \sqrt3 et y < 2\sqrt6

Montrons que xy < 6\sqrt2

⇒ On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\;x ≤ \sqrt3 \\ \;\;\; y ≤ 2\sqrt6 \end{array}\right. Donc x \times y < \sqrt3 \times 2\sqrt6\\

⇒ x \times y < \sqrt3 \times 2\sqrt2 \times \sqrt3\\

⇒ x \times y < 2 \times 3 \sqrt2\\

⇒ xy < 6\sqrt2

d- Exercice d’application :

x et y deux nombres réels positifs tel que x ≤ 1 et y ≤ 2

Montrons que : (x -1)(y - 2) ≤ 0

Solution :

⇒ On a x ≤ 1 donc x - 1 ≤ 0

et y ≤ 2 donc y - 2 ≤ 0

c’est à dire (x - 1)(y - 2) ≤ 0

3/ Ordre et inverse :

a- Propriété 5 :

L’inverse change l’ordre.

b- Exemples :

∗ On a 2 ≤ 4 donc \frac{1}{2} ≥ \frac{1}{4}

∗ On a 11 > 5 donc \frac{1}{11} < \frac{1}{5}

c- Exercice d’application :

x un nombre réel tel que x ≥ 1

Montrer que \frac{-5}{x + 2\sqrt3} ≥ \frac{-5}{1 + 2\sqrt3}

⇒ On a x ≥ 1 donc x + 2\sqrt3 ≥ 1 + 2\sqrt3

Alors \frac{1}{x + 2\sqrt3} ≤ \frac{1}{1 + 2\sqrt3}

Alors \frac{-5}{x + 2\sqrt3} ≥ \frac{-5}{1 + 2\sqrt3}

4/ Autres propriétés : carré et racine carré :

a- Propriété 6 : carré

∗ Remarques :

∗ a et b deux nombres réels négatifs.

⇒ a ≤ b est équivalente à a^2 ≥ b^2

∗ L’ordre change dans les cas suivants :

→ On multiplie par un nombre négatif (ou opposé).

→ On fait l’inverse.

→ on prend le carré de deux nombres négatifs

∗ Exemples :

→ Comparons 3 et 2\sqrt2

⇒ On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\; (2\sqrt2)^2 = 4 \times 2 = 8 \\ \;\;\; 3^2 = 9 \end{array}\right.

Donc (2\sqrt2)^2 < 3^2

Alors 2\sqrt2 < 3

→ Comparons -2\sqrt5 et -3\sqrt2

⇒ On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\; (2\sqrt5)^2 = 4 \times 5 = 20 \\ \;\;\; (3\sqrt2)^2 = 9 \times 2 = 18 \end{array}\right.

Donc (3\sqrt2)^2 < (2\sqrt5)^2

Alors 3\sqrt2 < 2\sqrt5

C’est à dire -3\sqrt2 < -2\sqrt5

b- Propriété 6 : Racine carré

c- Exercice d’application :

1. Comparer 3\sqrt3 et 4\sqrt2 après -\sqrt{91} et -6\sqrt3
2. Comparer les nombres \sqrt5 + 4 et \sqrt3 + 4

II – Encadrement :

1/ Encadrement d’une somme :

a- Propriété 8 :

b- Exemple :

x et y deux nombres réels tel que

2 ≤ x ≤ 5 et -3 ≤ y ≤ -1

Encadrer x + y

On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\;2 ≤ x ≤ 5 \\ \;\; -3 ≤ y ≤ -1 \end{array}\right. Donc  2 + (-3) ≤ x + y ≤ 5 + (-1)\\

Alors : -1 ≤ x + y ≤ 4

2/ Encadrement d’un opposé :

a- Propriété 9 :

b- Exemple :

Soit -4 ≤ x ≤ 3

On a -3 ≤ -x + y ≤ 4

3/ Encadrement d’une différence :

a- Propriété 10 :

b- Remarque importante :

On a a - b = a + (-b)

Donc pour encadrer a - b, on encadre d’abord -b après en applique la propriété 8 (de la somme).

c- Exemple :

x et y deux nombres réels tel que

3 ≤ -x ≤ 8 et -4 ≤ y ≤ 2

Encadrons x - y

On a -4 ≤ y ≤ 2 donc -2 ≤ -y ≤ 4

On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\;3 ≤ x ≤ 8 \\ \;\;\; -2 ≤ -y ≤ 4 \end{array}\right. Donc 3 + (-2) ≤ x + (-y) ≤ 8 + 4\\

Alors 1 ≤ x - y ≤ 12

4/ Encadrement d’un produit :

a- Propriété 11 :

b- Exemples :

⇒ Cas 1 : Tous le snombres réels positifs.

3 ≤ x ≤ 7 et 1 ≤ y ≤ 4

Encadrons xy

⇒ On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\;3 ≤ x ≤ 7 \\ \;\;\; 1 ≤ y ≤ 4 \end{array}\right.

Donc : 3 \times 1 ≤ x \times y ≤ 7 \times 4\\

Alors : 3 ≤ xy ≤ 28\\

⇒ Cas 2 :

x positif et y négatif

4 ≤ x ≤ 8 et -5 ≤ y ≤ -2

Encadrons xy

⇒ D’abord les nombres encadrants y doivent être positif

On a -5 ≤ y ≤ -2 donc 2 ≤ -y ≤ 5

On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\;4 ≤ x ≤ 8 \\ \;\;\; 2 ≤ -y ≤ 5 \end{array}\right. Remarquez que tous les nombres sont positifs.

Donc 4 \times 2 ≤ -x \times y ≤ 8 \times 5
8 ≤ -xy ≤ 40
Mais ce qui est demandé c’est xy pas -xy, donc on se débarasse du signe –

On a 8 ≤ -xy ≤ 40

Donc -40 ≤ xy ≤ -8

5/ Encadrement d’un inverse :

a- Propriété 12 :

b- Exemple :

On a 2 ≤ x ≤ 4

Donc \frac{1}{4} ≤ \frac{1}{x} ≤ \frac{1}{2}

6/ Encadrement d’un inverse :

a- Propriété 13 :

b- Remarque importante :

On a \frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}

Donc pour encadrer \frac{a}{b}, on encadre d’abord \frac{1}{b} après on applique la propriété 11(produit).

c- Exemples :

⇒ Cas 1 : Tous le nombres réels positifs.

x et y des nombres réels tel que

6 ≤ x ≤ 10 et 2 ≤ y ≤ 3

Encadrer \frac{x}{y}

⇒ On a \frac{x}{y} = x \times \frac{1}{y}

Donc encadrons d’abord \frac{1}{y}

On a 2 ≤ y ≤ 3 Donc \frac{1}{3} ≤ \frac{1}{y} ≤ \frac{1}{2}

On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\;6 ≤ x ≤ 10 \\ \;\;\;\frac{1}{3} ≤ \frac{1}{y} ≤ \frac{1}{2} \end{array}\right. ⇒ 6 \times \frac{1}{3} ≤ x \times \frac{1}{y} ≤ 10 \times \frac{1}{2}

Alors : 2 ≤ \frac{x}{y} ≤ 5

⇒ Cas 2 : x positif et y négatif

2 ≤ x ≤ 5 et -4 ≤ y ≤ -2

Encadrer \frac{x}{y}

⇒ On doit transformer les nombres négatifs en nombres positifs

On a -4 ≤ y ≤ -2 

Donc 2 ≤ -y ≤ 4

Après l’inverse de -y

Donc \frac{1}{4} ≤ -\frac{1}{y} ≤ \frac{1}{2}

On a \left\{\begin{array}{l}\;\;\;2 ≤ x ≤ 5 \\ \;\;\;\frac{1}{4} ≤ -\frac{1}{y} ≤ \frac{1}{2} \end{array}\right. Donc 2 \times \frac{1}{4} ≤ x -\times \frac{1}{y} ≤ 5 \times \frac{1}{2}

Donc \frac{2}{4} ≤ -\frac{x}{y} ≤ \frac{5}{2}

Donc -\frac{5}{2} ≤ \frac{x}{y} ≤ -\frac{2}{4}

Alors : Donc -\frac{5}{2} ≤ \frac{x}{y} ≤ -\frac{1}{2}

7/ Exercices d’application :

∗ Exercice 1 :

2 ≤ a ≤ 3 et -4 ≤ b ≤ -3

1. Encadrer a + b
2. Encadrer a - b
3. Encadrer ab
4. Encadrer \frac{a}{b}

∗ Exercice 2 :

a, b et c trois nombres réels tel que :

6 ≤ a ≤ 8 et -4 ≤ b ≤ -2 et -3 ≤ c ≤ 5

1. Encadrer a^2
2. b^2
3. a + 2b - 4c
4. \frac{a + b}{b^2}