Repère dans le plan

I – Les coordonnées d’un point :

1/ Repère orthonormé du plan :

2/ Les coordonnées d’un point :

a- Définition :

b- Exemple :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé

Plaçons les points :

A(2 ; -3) ; B(2 ; 4) ; C(-1 ; 2) ; D(-4 ; -2) ; E(0 ; -4) ; F(3 ; 0)

c- Remarques importantes :

∗ (O,I,J) un repère orthonormé, donc O(0 ; 0) et I(1 ; 0) et J(0 ; 1)

∗ Si M un point de l’axe des abscisses donc Y_{M} = 0 et on écrit M(X_{M} ; 0)

∗ Si M un point de l’axe des ordonnées donc X_{M} = 0 et on écrit M(0 ; Y_{M})

3/ Les coordonnées du milieu d’un segment :

a- Définition :

b- Exemple :

Soient A(-2 ; 6) et B(4 ; -8)

Déterminons les coordonnées du point E milieu du segment [AB]

On a : x_{E} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{-2 +4}{2} = \frac{2}{2} = 1

Et : y_{E} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{6 + (-8)}{2} = \frac{-2}{2} = -1

Donc E(1 ; -1)

c- Exercice d’application :

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points :

A(-2 ; 1) et B(2 ; 2) et C(3 ; -2) et D(x ; y)

1. Déterminons les coordonnés de E milieu de [AC]
2. Déterminons x et y sachant que E est milieu du segment [BD]

II – Les coordonnées d’un vecteur :

1/ Les coordonnées d’un vecteur :

a- Définition :

b- Exemple :

Soient A(2 ; 3) et B(-1 ; -4) et C(3 ; 2)

∗ Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}

On a

∗ Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC}

On a :

∗ Les coordonnées du point E tel que \overrightarrow{AE}(1 ; 1)

On a :

Comme \overrightarrow{AE}(1 ; 1)

Donc \left\{\begin{array}{l} x_{E} - 2 = 1\\ y_{E} - 3 = 1 \end{array}\right. ⇒ \left\{\begin{array}{l} x_{E} = 1 + 2 = 3 \\ y_{E} = 1 + 3 = 4 \end{array}\right.

Alors : E(3;4)

2/ Egalité de deux vecteurs :

a- Définition :

b- Exemple :

Soient A(2 ; 3) ; B(-2 ; 4) ; C(-1 ; 2) et D(3 ; 1)

Comparons les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC}

On a :

D’où : \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

c- Exercice d’application :

On considère les points A(2 ; -2) ; B(4 ; -1) ; C(-6 ; -2)

Déterminer le couple des coordonnées du point D tel que ABCD est parallélogramme.

3/ Coordonnées de la somme et différence de deux vecteurs :

a- Définition :

b- Exemple :

Soient \overrightarrow{AB}(3; -1) et \overrightarrow{OD}(2; -4)

∗ On a \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}(3 + 2 ; -1 + (-4))

∗ On a \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}(3 - 2 ; -1 - (-4))

c- Exercice d’application :

On considère les points A(2 ; -1) ; B(3 ; 5) ; D(-3 ; 7) ; C(x ; y) et M(-7 ; 21)

1. Déterminer x et y sachant que \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}
2. Montrer que \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}

4/ Coordonnées du produit d’un vecteur par un nombre réel :

a- Propriété 3 :

b- Exemple :

On considère le vecteur \overrightarrow{AB}(3;-1)

On a : 2\overrightarrow{AB}(2 \times 3 ; 2 \times (-1))

Donc : 2\overrightarrow{AB}(6 ; -2)

Et on a : -4\overrightarrow{AB}(-4 \times 3 ; -4 \times (-1))

Donc : -4\overrightarrow{AB}(-12 ; 4)

c- Exercice d’application :

On considère les points A(2 ; -1) et B(3 ; 5) et C(4 ; 11)

Montrer que les points A, B et C sont alignés.

III – La distance entre deux points :

1/ Propriété 4 :

∗ Remarque importante :

Si \overrightarrow{AB}(x,y) alors AB = \sqrt{x^2 + y^2}

2/ Exemple :

Soient \overrightarrow{AB}(3; 4) et E(3; 1) et F(0 ; -2) deux points du plan rapporté à un repère orthonormé.

Calculer AB et EF

∗ Calcul de AB

On a AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}

D’où : AB = 5

∗ Calcul de EF

⇒ Méthode 1 : Propriété 4 :

On a : EF = \sqrt{(x_{F} - x_{E})^2+ (y_{F} - y_{E})^2}

D’où : EF = 3\sqrt{2}

3/ Exercice d’application :

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1 ; 5) ; B(3 ; 9) ; C(11 ; 5) et D(9 ; 1)

Montrer que ABCD est un rectangle.