Vecteurs et translation

I – Le vecteur :

1/ Caractéristiques d’un vecteur non nul :

a- Définition :

b- Figure géométrique :

2/ Vecteur nul :

a- Définition :

– Chaque point A détermine un vecteur nul \overrightarrow{AA} noté \overrightarrow{O} et on écrit : \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{O}

– Si \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{O} alors A = B (c’est à dire les points A et B sont confondus)

→ Remarque :

La norme d’un vecteur nul est zéro, mais la direction et le sens ne pas définis.

3/ L’opposé d’un vecteur :

a- Définition :

b- Figure géométrique :

On a \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}

II – Egalité de deux vecteurs :

1/ Définition :

→ Remarque :

Même direction signifie que leurs direction sont : soit deux droites strictement parallèles, soit deux droites confondus.

→ Figure géométrique :

On a \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

Premier cas

Deuxième cas

2/ Propriétés importantes :

→ Figure géométrique :

ABCD est un parallélogramme.

On a :

1. \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
2. Les segments [AC] et [BD] ont même milieu.

→ Remarque :

ABCD est un parallélogramme signifie que \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \\ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA} \\ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DC} \end{array}\right.

3/ Exercice d’application :

Soit ABC un triangle

1. Construire le point E tel que \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}
2. Montrer que : \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EC}

Solution :

1. On a \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}
2. On a \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}
   Donc AECB est un parallélogramme,
   Alors \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EC}

III – Somme de deux vecteurs :

1/ Définition :

→ Figure géométrique :

ABCD est un parallélogramme.

Donc \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}

→ Récapitulatif d’un parallélogramme :

ABCD est un parallélogramme, donc :

1 – \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \\ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB} \end{array}\right. 2 – \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} \\ \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} \\ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB} \end{array}\right.

3 – [AC] et [BD] ont même milieu

2/ Relation de Charles :

a- Propriété :

b- Figure :

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

c- Exemples :

Simplifions les écritures suivantes :

∗ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{O}

∗ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE}

∗ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AC}

3/ Exercice d’application :

Soit ABC un triangle

1. a) Construire le point E tel que \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB}
   b) Construire les points M et N les symétriques respectifs de A et C par rapport à B
2. Montrer que \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NM}

IV – Produit d’un vecteur par un nombre réel :

1/ Définition :

→ Remarque :

\overrightarrow{O} \times \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{O} et k \times \overrightarrow{O} = \overrightarrow{O}

2/ Exemples :

ABC un triangle

Construisons les points E et F tels que :

\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BF} = \frac{-3}{2}\overrightarrow{BC}

\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB} donc \left\{\begin{array}{l}E ∈ (AB) \\ \overrightarrow{AE} \; et \; \overrightarrow{AB} \; ont \; même \; sens \\ AE = 2 \times AB \end{array}\right.

\overrightarrow{BF} = \frac{-3}{2}\overrightarrow{BC} donc \left\{\begin{array}{l}F ∈ (BC) \\ \overrightarrow{BF} \; et \; \overrightarrow{BC} \; ont \; des \; sens \; opposés \\ BF = \frac{3}{2} \times BC \end{array}\right.

3/ Vecteurs et milieu :

a- Propriété :

→ Remarque :

On utilise souvent \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}

4/ Propriétés importantes :

5/ Exercices d’application :

⇒ Exercice 1 :

ABCD un parallélogramme et E un point tel que \overrightarrow{DE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

Montrer que les points D, C et E sont alignés

⇒ Exercice 2 :

Soient ABC un triangle et E et F deux points tel que : \overrightarrow{AE} = \frac{-7}{5}\overrightarrow{BC} et C est le milieu du segment [BF]

Montrer que : (AE) // (CF)

V – La translation :

1/ Activité :

A, B et M trois points du plan

Construire dans chacun des cas le point M' tel que \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}

Cas 1

Cas 2

ABM'M est parallélogramme

Dans chacun des cas, on dit que le point M' est l’image du point M par la translation T du vecteur \overrightarrow{AB} (qui transforme A en B)

2/ Définition :

3/ Propriété caractéristique :

→ Remarque :

Soit T_{\overrightarrow{AB}} la translation de vecteur \overrightarrow{AB} alors, l’image de A pat T est le point B et l’image de B par T  est le point C  tel que B est le milieu du segment [AC]

4/ Exercice d’application :

ABCD un parallélogramme de centre O

1. Construire le point E image de D par la translation de vecteur \overrightarrow{AC}
2. Construire F symétrique de D par rapport à A
3. Montrer que O est milieu de [EF]

VI – L’image de quelques figures par une translation :

1/ L’image d’une droite :

a- Propriété 1 :

→ Remarque importante :

Pour construire l’image d’une droite par une translation, On construit les images de deux points de cette droite par la translation.

b- Figure géométrique :

\overrightarrow{AB} un vecteur non nul et (D) droite

construisons (D') image de (D) par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}

On a : (D) // (D')

c- Propriété 2 :

d- Exercice d’application :

ABCD un parallélogramme de centre O

1. Construire E image de A par la translation de vecteur \overrightarrow{OD}
2. Construire F image de C par la même translation.
3. Montrer que les points E, F et D alignés.

2/ L’image d’une demi-droite :

a- Propriété 3 :

b- Figure géométrique :

\overrightarrow{AB} et [EF) demi-droite.

Construisons [E'F') l’image de [EF) par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}

3/ L’image d’un segment :

a- Propriété 4 :

b- Figure géométrique :

\overrightarrow{AB} vecteur non nul et [EF] un segment.

Construisons [E'F'] l’image de [EF] par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}

On a (EF) // (E'F') et EF = E'F'

4/ L’image d’un angle :

a- Propriété 5 :

b- Figure géométrique :

\overrightarrow{AB} vecteur non nul et \widehat{EOF} un angle

Construisons l’angle \widehat{E'O'F'} l’image de l’angle \widehat{EOF} par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}

On a : \widehat{EOF} = \widehat{E'O'F'}

5/ L’image d’un cercle :

a- Propriété 6 :

→ Remarque importante :

Pour construire l'image d'un cercle par une translation, on construit l'image du centre par la même translation et on garde le même rayon.

b- Figure géométrique :

\overrightarrow{AB} un vecteur non nul et 𝒞 un cercle de centre O et de rayon R.

Construisons le cercle 𝒞' image du cercle 𝒞' par la translation du vecteur \overrightarrow{AB}.

6/ Exercice d'application :

Soit ABCD un triangle tel que : AB = 4 \;cm et \widehat{BAC} = 70°

On considère la translation t de vecteur \overrightarrow{AC}

Soient E et F les images respectives des points C et B par la translation t.

1. Tracer la figure.
2. Montrer que (BC) // (EF).
3. Calculer CF
4. Calculer \widehat{FCE}